Rambler's Top100


Сопротивление материалов. Автор: Потехин Б.Б., редактор: в авторской редакции

Тема 5. Геометрические характеристики плоских сечений

В теории изгиба важную роль играют моменты инерции, поэтому следует рассмотреть этот вопрос предварительно в виде самостоятельной темы. Перед изучением этой темы полезно по учебнику теоретической механики повторить материал о статическом моменте и о нахождении центров тяжести плоских фигур. При вычислении моментов инерции надо помнить, что они представляют собой интегралы или типа (осевой, или экваториальный, момент инерции относительно оси у) или типа  (центробежный момент инерции относительно осей z и у).

Необходимо запомнить, что теорема о переносе осей (Iy1=Iy+a2F) справедлива только в том случае, если ось у проходит через центр тяжести фигуры. Если, например, известен момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание, то нельзя при помощи теоремы о переносе осей сразу найти момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через вершину параллельно основанию, сначала необходимо при помощи этой теоремы найти момент инерции относительно центральной оси, а затем определить момент инерции относительно оси, проходящей через вершину. Формула переноса осей наглядно показывает, что наименьшим из моментов инерции относительно нескольких параллельных осей является момент инерции относительно той оси, которая проходит через центр тяжести.

Наименьшим из моментов инерции относительно центральных осей, наклоненных под разными углами, является момент инерции относительно одной из главных центральных осей Относительно другой главной оси, перпендикулярной к первой, момент инерции имеет, наоборот, наибольшее значение. Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю, при этом совсем не обязательно, чтобы главные оси проходили через центр тяжести, так как через любую точку, лежащую в плоскости фигуры, можно провести такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции будет равен нулю. В теории изгиба весьма важную роль играют главные центральные оси, положение которых для несимметричных сечений определяют так:

1) сначала проводят случайные оси, вычисляют статические моменты сечения относительно этих осей (разделив предварительно сложную фигуру на ряд простых фигур) и находят положение центра тяжести сечения;

2) проводят через центр тяжести всего сечения оси, параллельные первоначально выбранным случайным осям, и находят при помощи тео­ремы о переносе осей центробежный и осевые моменты инерции сечения относительно этих новых осей;

3) находят положение главных центральных осей и и v по формуле

;

4) находят главные центральные моменты инерции.

Для проверки правильности вычислений Iu и Iv можно использовать равенства:

Iu+Iv=Iy+Iz и Iuv=0.

Следует иметь в виду, что при помощи этих равенств можно проверить вычисления только по п.п. 3 и 4; соблюдение этих равенств не гарантирует правильности вычислений, сделанных в пп. 1 и 2.

Если сечение состоит из ряда прокатных профилей, то необходимо при вычислениях пользоваться данными таблиц сортамента. При определении центробежного момента инерции уголка (равнобокого или неравнобокого) не следует делить площадь этого уголка на два прямоугольника; сначала можно найти центробежный момент инерции всего уголка относительно осей, проходящих через центр тяжести параллельно полкам, при помощи формулы, в которой использованы обозначения таблиц сортамента:

,

где   Iyo и Ixo – главные центральные моменты инерции, значения которых даны в таблицах сортамента, после этого надо применить формулу переноса осей и найти центробежный момент инерции уголка относительно центральных осей всего сечения.

При пользовании формулой поворота осей надо обязательно обратить внимание на знак угла a если для совмещения оси xo с осью х надо повернуть ось xy по часовой стрелке, то угол a следует считать отрицательным.

Тема 6. Теория напряженного состояния и теории прочности

Главные напряжения играют весьма важную роль при решении вопроса о прочности материала; одно из этих напряжении является наибольшим, а другое – наименьшим из всех нормальных напряжении для данной точки.

Надо обратить внимание на полную аналогию между формулами для напряжения в наклонных площадках и формулами для моментов инерции относительно осей, наклоненных к главным. В этих формулах главным напряжениям соответствуют главные моменты инерции, напряжениям в площадках, наклоненных к главным под углом a, соответствуют моменты инерции относительно осей, наклоненных к главным под углом b; касательным напряжениям соответствует центробежный момент инерции Аналогию легко продолжить дальше:

Касательные напряжения на главных площадках равны нулю

Центробежный момент инерции от­носительно главных осей равен нулю

Одно из главных напряжений яв­ляется максимальным, другое – минимальным

Один из главных моментов инерции является максимальным, другой – минимальным

 

Угол наклона главных площадок находят по формуле

Угол наклона главных осей находят по формуле

 

При линейном напряженном состоянии вопрос о прочности материала решается легко: надо определить опасное напряжение s0 из опыта на простое растяжение (или сжатие), назначить коэффициент запаса и сравнить главное напряжение s с допускаемым напряжением:

s £[s]=s0/k.

В случае плоского или объемного напряженного состояния задача значительно осложняется, так как неизвестно, при какой комбинации числовых значений главных напряжений наступает опасное состояние материала. Необходимо, следовательно, найти напряжение, зависящее от главных напряжений, при котором возникает опасность разрушения, и затем числовое его значение сравнить с допускаемым напряжением, установленным из опыта на простое растяжение (или сжатие). В зависимости от того, какой фактор по данной теории прочности считается решающим и создающим опасное состояние материала, получим различные расчетные формулы.

Тема 7. Изгиб прямых брусьев

Эта тема является самой большой и самой сложной темой курса сопротивления материалов; ее следует изучать постепенно, обращая особое внимание на решение задач. Сначала надо усвоить весьма важные понятия изгибающего момента М и поперечной силы Q и научиться свободно строить эпюры М и Q.

Необходимо помнить, что поперечная сила в данном сечении равна алгебраической сумме проекций сил, расположенных только по одну сторону от рассматриваемого сечения, на перпендикуляр к оси балки, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов сил, расположенных только с одной стороны, относительно центральной оси поперечного сечения. В связи с этим рекомендуется – при вычислениях, например, изгибающего момента в сечении балки как момента левых сил – закрывать чем-либо (рукой, книгой, листом бумаги) часть балки, расположенную правее рассматриваемого сечения, чтобы открытыми оставались только одни левые силы. Следует при этом иметь в виду, что можно рассматривать как одни левые, так и одни правые силы, в зависимости от того, с какой стороны проще получить выражения Q и М.

Весьма важное значение имеет теорема Журавского, устанавливающая зависимость между Q и М, с помощью которой можно проверять построение эпюр.

Необходимо обратить внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений по высоте балки и на то, что прочность балки зависит от момента сопротивления W. Надо ясно представлять, каким путем можно увеличить момент сопротивления без увеличения расхода материала.

Рекомендуется сравнить между собой эпюры s и t, построенные для балки прямоугольного поперечного сечения. Наибольшее и наименьшее нормальные напряжения (главные напряжения) находят по формуле:

.

Необходимо разобрать графическое построение, при помощи которого можно получить эту формулу.

Надо внимательно изучить вопрос о центре изгиба. В работе проф. В.З. Власова «Тонкостенные упругие стержни» этот вопрос рассмотрен более подробно и дана законченная теория изгиба и кручения тонкостенного профиля произвольного очертания.

После этого следует перейти к изучению деформаций при изгибе.

Правая часть дифференциального уравнения изогнутой оси балки содержит выражение изгибающего момента в произвольном сечении данного участка, а не в том сечении, для которого находят перемещения (углы поворота и прогибы), М(х) – величина переменная; только в случае чистого изгиба М(х)=const. Надо хорошо понять геометрический смысл постоянных интегрирования С и D; разделив их на EI, получим соответственно угол поворота и прогиб в начале координат.

При наличии нескольких участков, когда изгибающий момент от сосредоточенных сил или моментов выражается различными уравнениями, необходимо интегрировать без раскрытия скобок, так как только при соблюдении этого требования произвольные постоянные будут соответственно равны между собой (С12=...=С и D1=D2=...=D).

Распределенную нагрузку можно преобразовать и получить соответственно равные произвольные постоянные также и в том случае, когда она на каком-либо участке балки обрывается.

В результате можно получить общие уравнения углов поворота и прогибов, которыми и следует преимущественно пользоваться при решении задач аналитическим методом. Обычно начало координат помещают на левом конце балки и общие уравнения углов поворота и прогибов пишут так:

Здесь am, ap, aq – соответственно абсциссы точек приложения сосредоточенной пары М, силы Р, начала равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q, знаки сумм распространяются на все нагрузки, расположенные слева от того сечения балки, для которого находят прогиб и угол поворота. Величины y0, q0, M0, Q0, обозначающие соответственно прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начале координат, называются начальными параметрами. В связи с этим метод определения деформаций балки при помощи написанных выше уравнений называют часто методом начальных параметров. Два начальных параметра из четырех известны при любом способе опирания левого конца балки. Действительно, для защемленного конца y0=0 и q0=0; для шарнирно опертого конца у0=0 и M0=0 (если на левом конце приложен момент М, то М0=М); для свободного конца Q0=0 (если на левом конце приложена сила Р, то Q0=Р) и М0=0 (или М0=М).

Для статически определимой балки начальные параметры Q0 и М0 легко найти при помощи уравнений статики; таким образом, в случае защемленного левого конца известны все четыре начальных параметра, в случае шарнирно опертого конца неизвестна только величина q0, в случае свободного конца неизвестны величины у0 и q0.

Неизвестные начальные параметры находят из условий на правом конце балки. Например, для балки, свободно лежащей на двух опорах, при определении q0 надо использовать то условие, что прогиб на правой опоре равен нулю.

Неразрезные балки рассчитывают при помощи уравнений трех моментов. При наличии нагрузки на консоли неразрезной балки в левую часть уравнения трех моментов надо подставить значение изгибающего момента на крайней опоре, учитывая его знак: момент считается положительным, если он изгибает консоль выпуклостью вниз. В случае защемления на крайней опоре надо присоединить к балке дополнительный пролет, написать уравнение трех моментов в обычной форме и затем произвести упрощения, т.е. приравнять нулю длину дополнительного пролета и момент на крайней его опоре.

Этот прием позволяет рассчитывать при помощи уравнения трех моментов и однопролетные балки с защемленными концами.

Однопролетные статически неопределимые балки легко можно рассчитать и при помощи метода начальных параметров. Для примера рассмотрим балку с защемленными концами, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой на всей длине. В данном случае y0=0 и q0=0, в виду симметрии можно написать, что Q0=ql/2, уравнения (1) и (2) примут такой вид:

;

.

Неизвестный начальный параметр М0 найдем из условия на правой опоре при х=l,

q =0 (можно использовать также условие при х=l, y=0)

.

Отсюда находим:

.

Таким образом, мы не только нашли опорный момент, но и одновременно получили уравнения углов поворота и прогибов. При решении не возникло никаких дополнительных затруднений, несмотря на то, что данная задача статически неопределима.

В заключение необходимо подробно разобрать примеры расчета простых статически неопределимых балок.

Poker razz odds calculator