Rambler's Top100


Ряды. Автор: Дубинина Л.Я. , редактор: В авторской редакции

§3. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то  un=0.

Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1). Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = =un=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если un≠0, то ряд u1+u2+…+un расходится.

Пример.

Ряд  расходится, так как

un=.

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что un=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд

         (6)

расходится, хотя un=

Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем.

§4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Определение 4. Числовой ряд называется знакоположительным, если un>0 при всех n=1,2,3… .

Нахождение суммы ряда S= часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближённо: SSn. Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. В этом параграфе будем рассматривать знакоположительные числовые ряды. Для таких рядов частичные суммы S1, S2, …,Sn,… образуют возрастающую числовую последовательность S1<S2<…<Sn<… .

Возможны два случая:

1) последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае = и ряд расходится;

2) последовательность частичных сумм ограничена, то есть существует такое число С>0, что Sn<C при любых n=1,2,… . В этом случае существует конечный предел , следовательно, ряд сходится.

Таким образом, для доказательства сходимости знакоположительного числового ряда достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм.

 

Теорема 4. (Признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда

      (7)

(8)

причём unvn при любых n=1,2,… .

Тогда:           1. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7);

2. Если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).

 

Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов (7) и (8) через Sn и sn соответственно. Пусть ряд (8) сходится. Это значит, что существует конечный =s. По условию теоремы 0< unvn, поэтому Sn<sn<s при всех n=1,2,… , то есть последовательность {Sn} ограничена, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть теперь ряд (7) расходится, то есть =. Тогда из неравенства Sn<sn следует, что и =, следовательно, ряд (8) расходится. Теорема доказана.

 

Замечания.

1. В силу теоремы 1 признак сравнения справедлив и в случае, если unvn начиная с некоторого номера к, то есть при nk.

2. Для использования признака сравнения нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщённые гармонические ряды  где кдействительное число. Несколько позже будет доказано, что при к≤1 такие ряды расходятся, а при k>1 сходятся. При к=1 получаем уже упоминавшийся расходящийся гармонический ряд.

 

Пример

Исследовать на сходимость ряд

 .

Рассмотрим расходящийся ряд

Он расходится, так как получен из гармонического ряда отбрасыванием u1=1. Так как ln(n+1)<n+1 при любом n=1,2,…, то  поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.

 

Теорема 5. (Предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных числовых ряда (7) и (8). Если существует конечный предел ≠0, то ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По условию теоремы существует конечный предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров nN выполняется условие  Последнее неравенство равносильно двойному неравенству E<-A<E или A-E<<A+E или

     (9)

Неравенство (9) верно при любом E>0. Выберем поэтому Е так, чтобы выполнялось А-Е>0. Если ряд (8) сходится, то сходится и ряд  по теореме 2. Но тогда по признаку сравнения, учитывая (9), сходится и ряд (7). Если ряд (7) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (9), сходится ряд  и по теореме 2 сходится ряд (8). Аналогично доказывается, учитывая (9), что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Докажите эту часть самостоятельно.

 

Замечание. Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщённый гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.

 

Пример.

Исследовать на сходимость ряд  Здесь un=

Возьмём для сравнения ряд с общим членом vn= то есть расходящийся гармонический ряд  Применим предельный признак сравнения.

¹0,

следовательно, данный ряд расходится по предельному признаку сравнения.

 

Теорема 6. (Признак Даламбера)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

          (7)

и пусть существует предел  При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условие или

p-E<    (10)

Пусть сначала p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех n³N имеем  … или

или

                (11)

Рассмотрим ряды

     (12)

.  (13)

Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N выполняется или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому un¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

 

Замечания.

1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то un¹0.

2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.

3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Даламбера. un= un+1==
.   следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

 

Теорема 7. (Признак Коши)

Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un  (7)

и пусть существует предел  При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Доказательство. По условию существует  Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие || <E или

p-E<<p+E.        (14)

Пусть p<1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем <q или un<qn для всех n³N. Рассмотрим ряды

             (15)

            (16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un<qn для всех n³N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие
p-E >1. Тогда из (14) получаем >1 или un>1, следовательно, un¹0 и ряд (7) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

 

Теорема 8. (Интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un (7) не возрастают: u1³u2≥…≥un≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…,        f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u1,u2,…,un-1, а также с высотами u2,u3,…,un.

Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1,

Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un.

Площадь криволинейной трапеции S=. Получаем
Sn-u1<< Sn-un. Отсюда

Sn<u1+         (17)

и Sn>un+      (18)

Пусть  сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: Sn<u1+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть  расходится. Это означает, что = и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.

 

Пример.

Исследуем с помощью интегрального признака Коши обобщённый гармонический ряд

Очевидно, f(x)=. При к≠1 имеем  =

При к=1 имеем

Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k≤1.

Poker razz odds calculator