Rambler's Top100





6
22
11 ttztt
,
которое после разделения переменных приводится к виду
z
dz
tt
tdt
)11(1
22
.
Интегрируя это уравнение с учетом того, что
2
2
1
)11(
t
tdt
td
, находим
Czt lnln)11ln(
2
, откуда
следует
Cyxfxf
22
)(
. (1.1.7)
Подстановка начального условия дает
fC 2
, что позволяет после
несложных преобразований получить
fxy 4
2
. (1.1.8)
Данное уравнение определяет параболу, следовательно, искомая
поверхность является параболоидом вращения.
Задача 2. Из вакуума на преломляющую поверхность падает пло-
скопараллельный пучок света в направлении оси симметрии поверхно-
сти. Какой формы должна быть поверхность, чтобы все лучи после пре-
ломления собрались в одной точке на оси симметрии поверхности?
Найти максимальный радиус пучка, который может быть сфокусирован
этой поверхностью. Показатель преломления среды, которую ограничи-
вает поверхность, равен
n
.
Решение
Пусть S искомая поверхность, (изображено ее сечение плоскостью
содержащей ось симметрии), прямая OD ее ось симметрии (рис. 1.1.2).
Поместим начало системы координат в точку O пересечения оси симмет-
рии OD с преломляющей поверхностью, а оси x и y направим вправо и
вверх соответственно. Рассмотрим произвольный луч AB, падающий на
поверхность параллельно OD. Построим в точке B падения луча касатель-
ную к поверхности O
1
O
2
, нормаль BC и преломленный луч BD.
Поместим начало системы координат в точку O пересечения оси
симметрии OD с преломляющей поверхностью, а оси x и
y
направим
вправо и вверх соответственно. Пусть координаты точек B и D равны
(x
0
, y
0
) и (f, 0) соответственно, а уравнение поверхности будем искать в
виде x = x(y). Согласно закону преломления