Rambler's Top100





9
Доказательство
Шаг первый: сначала индукцией докажем это неравенство для на-
туральных чисел вида
m
n 2
. При m=1 надо доказать, что
21
21
2
aa
aa
. Это неравенство эквивалентно
02
2211
aaaa
, то
есть
0
2
21
aa
. Последнее неравенство верно, значит, и первона-
чальное верно, так как они равносильны. Допустим, неравенство верно
при m=k, то есть
k
k
k
aaa
aaa
k
2
1
2
21
2
21
...
2
...
. (2)
Докажем неравенство (1) для m=k+1, то есть докажем, что
1
1
1
2
1
2
21
1
2
21
...
2
...
k
k
k
aaa
aaa
k
.
В самом деле,
kkk
kkkkk
aaaaaaaaa
2
...
2
...
2
...
11
222122
21
1
2
21
2
......
2
1
2
1
22212
2
1
2
21
1
k
kkk
k
k
aaaaaa
k
kkk
k
k
aaaaaa
2
1
22212
2
1
2
21
1
......
1
1
2
1
2
21
...
k
k
aaa
.
Итак, мы доказали неравенство Коши, когда количество чисел в
средних есть степень двойки. А как быть с остальными? Для них мы
докажем неравенство Коши, используя еще одну модификацию индук-
ции "индукцию вниз". Допустим, что неравенство Коши верно для n=k,
то есть допустим, что
k
kk
aaakaaa
1
2121
......
, (3)
и докажем это неравенство для n=k-1. Для этого в неравенстве Коши
положим
1
...
121
k
aaa
a
k
k
, тогда (3) будет иметь вид:
.
1
...
...
1
...
...
1
11
121
11
121
k
k
k
k
k
k
aa
aaa
k
k
aa
aaa