Rambler's Top100





8
Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского)
Для любых чисел
nn
bbaa ,...,,,...,
11
22
1
22
1
2
2211
.........
nnnn
bbaabababa
.
Доказательство
При
1n
неравенство
2
1
2
1
2
11
baba
верно. Допустим,
22
1
22
1
2
2211
.........
kkkk
bbaabababa
.
Докажем, что
2
1111
...
kkkk
bababa
2
1
22
1
2
1
22
1
......
kkkk
bbbaaa
.
Перепишем это неравенство, частично раскрыв скобки:
2
1
2
11111
2
11
...2...
kkkkkkkk
babababababa
2
1
2
1
22
1
22
1
......
kkkk
babbaa
22
1
2
1
22
1
2
1
......
kkkk
aabbba
.
Легко заметить, что для того, чтобы доказать это неравенство, дос-
таточно доказать
..........2
22
1
2
1
22
1
2
11111 kkkkkkkk
aabbbabababa
Перенеся все слагаемые в одну сторону, и сгруппировав их, полу-
чаем очевидное неравенство:
.0...
2
11
2
1221
2
1111 kkkkkkkk
babababababa
А это и доказывает неравенство Коши-Буняковского.
Определение 2
1. Число
naaa
n
...
21
называется средним арифметическим
чисел
n
aaa ,...,,
21
.
2. Если
0,...,0
1 n
aa
, то число
n
n
aaa
1
21
...
называется сред-
ним геометрическим чисел
n
aaa ,...,,
21
.
Теорема 3 (неравенство Коши)
Пусть
0,...,0
1 n
aa
, тогда
naaa
n
...
21
n
n
aaa
1
21
...
. (1)