Rambler's Top100





7
Теорема 3 (возвратный ММИ)
Пусть свойство Р(n) выполняется при n=1 и из того, что оно верно
для любого
nk
, следует, что Р верно при n. Тогда Р верно при любом
натуральном n.
И последнее. Индуктивный процесс не обязан начинаться с 1. В ка-
честве базиса индукции может выступать любое целое число a.
Теорема 4
Пусть свойство P(n) выполняется при n=a и из истинности его для
любого
ak
следует истинность для k+1. Тогда P(n) истинно для лю-
бого целого
an
.
§2. Доказательство неравенств ММИ. Неравенство Коши
Пример 1
n
n
2
для любого
Nn
.
Доказательство
При n=1 неравенство очевидно: 2>1. Допустим,
k
k
2
. Докажем,
что
12
1
k
k
. В самом деле,
122222
1
k
kkkk
, так как
k
k
2
по индуктивному предположению и
12
k
очевидное неравен-
ство.
Пример 2
2
2 n
n
для любого натурального
5n
.
Доказательство
При n=5 получаем верное неравенство 32>25. Допустим, неравен-
ство верно при
5kn
, то есть
2
2 k
k
. Докажем, что
2
1
12 k
k
.
Это неравенство равносильно
1222
2
kk
kk
. Если мы докажем,
что
122 k
k
5k
, то будет доказано и исходное неравенство. Не-
равенство
122 k
k
5k
доказываем индукцией (индукция в индук-
ции). При
5k
имеем верное неравенство
1132
. Допустим, неравен-
ство верно при
mk
, то есть
122 m
m
. Докажем при
1mk
, то
есть докажем, что
321122
1
mm
m
или
21222 m
mm
.
Очевидно, что это неравенство верно в силу индуктивного предположе-
ния.