Rambler's Top100





5
Пример 1
Доказать, что
2
1
...21
nn
n
. (1)
Доказательство
Метод математической индукции будем оформлять по следующей
схеме.
1. Базис индукции: проверим равенство при
1n
. Левая часть
(ЛЧ)=1, правая часть (ПЧ)=
1
2
21
. Равенство при
1n
, то есть базис
индукции, выполняется.
2. Индуктивное предположение: допустим, равенство (1) верно при
kn
, то есть допустим, что
2
1
...21
kk
k
. (2)
3. Индуктивный переход: докажем равенство (1) при
1kn
, то
есть докажем, что
2
21
1...21
kk
kk
. В самом деле,
1
2
1
1...21 k
kk
kk
. Здесь мы применили индуктив-
ное предположение. Далее
2
21
1
2
11
2
1 kkk
kk
kk
,
что и требовалось доказать.
На основании ММИ равенство (1) верно при любом
n
.
Символом
!n
обозначается произведение
nn 21!
, где
Nn
.
Например,
12054321!5
. По определению полагают
1!0
.
Пример 2
Доказать, что для любого
Nn
1!1!...!22!11 nnn
. (3)
Доказательство
1. Базис индукции: проверим утверждение (3) при
1n
.
ЛЧ=
1!11
, ПЧ=
11!21!11
. Базис индукции доказан.
2. Индуктивное утверждение: допустим, (3) верно при
ln
, то
есть допустим: