Rambler's Top100





11
Получили равенство
k
n
k
n
AkC !
или
)!(
!
!
kn
n
kC
k
n
, и отсюда полу-
чаем искомую формулу:
!)!(
!
kkn
n
C
k
n
. Теорема доказана.
Так,
6
2
43
!2!2
!4
2
4
C
, что согласуется с непосредственным
подсчѐтом 2-сочетаний.
Пример. Пять девушек и трое юношей играют в волейбол. Сколь-
кими способами они могут разбиться на две команды по четыре челове-
ка, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше.
Решение. Понятно, если мы отберѐм одну команду из четырѐх че-
ловек, то вторая определится автоматически. Сколькими способами
можно выбрать четыре человека из восьми, чтобы в ней были один или
два юноши. Посчитаем команды 1-го типа (содержащие одного юношу).
Одного юношу из трѐх можно выбрать
1
3
C
способами, трѐх девушек
из 5 можно выбрать
3
5
C
способами. По принципу произведения число
команд 1 типа равно
30
2
543
!2!3
!5
!2!1
!3
3
5
1
3
CC
. Аналогич-
но, команд второго типа (содержащих двух юношей) существует
30
!3!2
!5
!1!2
!3
2
5
2
3
CC
. Но при таком подсчѐте каждое разбиение
на команды учитывалось дважды (подумайте почему). Поэтому оконча-
тельный ответ: трѐх юношей и четырѐх девушек можно разбить на две
команды, удовлетворяющие условию задачи, 30-ю способами.
Теорема 3 (простейшие свойства сочетаний).
1)
;1
0 n
nn
CC
2)
;
11
nCC
n
nn
3)
kn
n
k
n
CC
;
4)
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
;
5)
1
0
1
m
k
n
mn
n
kn
CC
, (m 1);
Доказательство.