Rambler's Top100





9
Пример 7. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда
...
!7
1
!5
1
!3
1
!1
1
.
Решение. Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница.
u
1
=
!1
1
=1;u
2
=
!3
1
≈0,166;u
3
=
!5
1
≈0,008<0,01. Поэтому
S≈1-0,166≈0,84.
1.2. Степенные ряды
Ряд, члены которого являются функциями, называется функцио-
нальным рядом
Если при x = x
0
функциональный ряд сходится, то x
0
называется
точкой сходимости функционального ряда.
Множество всех точек сходимости функционального ряда называ-
ется его областью сходимости.
Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его
сумма является функцией от x. Будем обозначать еѐ S(x).
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
...)(...)()(
2
210
n
n
axaaxaaxaa
,
где a, a
0
, a
1
, a
2
, …, a
n
, некоторые числа, называемые коэффициен-
тами степенного ряда.
Теорема о структуре области сходимости степенного ряда
Областью сходимости степенного ряда является интервал (a-
R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть
присоединены точки a-R и a+R, где R=
1
lim
n
n
n
a
a
(если этот предел суще-
ствует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.
Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенно-
го ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости сте-
пенного ряда.
Любой степенной ряд сходится при x=a. Если других точек сходи-
мости у ряда нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд сходится
во всех точках числовой прямой, то считают, что R=∞.
Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
.
1n
n
n
x