Rambler's Top100





8
2. Условие u
n
>u
n+1
не является необходимым. Ряд может сходиться,
если оно не выполняется. Например, ряд
...
4
1
3
1
2
1
1
232
...
)2(
1
)12(
1
23
nn
сходится, как разность двух сходящихся рядов
,
)2(
1
)12(
1
1
2
1
3
nn
nn
хотя условие u
n
>u
n+1
не выполняется.
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсо-
лютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знако-
переменный ряд сходится условно.
Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из
абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд
сходится абсолютно.
Пример 6. Установить характер сходимости ряда
.
)1(
1n
n
n
Решение. Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбни-
ца. Действительно:
0
1
limlim
n
u
n
n
n
и u
n
=
.
1
11
1
n
u
n
n
Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
1
1
n
n
является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный
ряд сходится условно.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или при-
знак абсолютной сходимости. Пусть дан знакопеременный ряд
u
1
+u
2
+…+u
n
+…=
1n
n
u
и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
u
1
│+│ u
2
│+…+│ u
n
│+…=
1n
u
n
│.
Тогда данный ряд сходится абсолютно.
Теорема об оценке остатка знакочередующегося числового ря-
да. Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейб-
ница, то его n-й остаток по абсолютной величине не превосходит моду-
ля (n+1)-го члена ряда.