Rambler's Top100





7
Признак Коши. Пусть дан знакоположительный числовой ряд и пусть
существует предел
.lim pu
n
n
n
При p<1 ряд сходится, при p>1 ряд рас-
ходится.
Интегральный признак Коши. Пусть члены знакоположительного
числового ряда не возрастают и пусть f(x) такая положительная, непре-
рывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u
1
, f(2)=
u
2
,…, f(n)= =u
n
,…. Тогда ряд сходится или расходится одновременно с
несобственным интегралом
.)(
1
dxxf
1.1.3. Знакопеременные ряды
Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрица-
тельные члены, называются знакопеременными рядами.
Числовой ряд вида
u
1
u
2
+ u
3
u
4
+…+ + (-1)
n-1.
u
n
+ …,
где u
n
модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым
рядом.
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося числового ряда
...)1(...
.1
4321 n
n
uuuuu
выполняются два условия: члены ряда убывают по модулю и
,0lim
n
n
u
то ряд сходится, причѐм его сумма положительна и не превосходит
первого члена ряда.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
.
)1(
1
)1(
1
2
1
n
n
nn
Решение. Применим признак Лейбница.
u
n
=
2
)1(
1
nn
>u
n+1
=
.
)2)(1(
1
2
nn
n
lim
u
n
=
n
lim
.0
)1(
1
2
nn
Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд
сходится.
Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива и если условие
u
n
>u
n+1
выполняется, начиная с некоторого номера N.