Rambler's Top100





5
1.1.2.Достаточные признаки сходимости
знакоположительных числовых рядов
Признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных числовых
ряда
......
21 n
uuu
(1.1)
....,...
21 n
vvv
(1.2)
причѐм u
n
v
n
при любых n=1,2,….
Тогда: 1) если ряд (1.2) сходится, то сходится и ряд (1.1);
2) если ряд (1.1) расходится, то расходится и ряд (1.2).
Замечание. Для использования признака сравнения нужно иметь
для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или
расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обоб-
щѐнные гармонические ряды
,
1
1n
k
n
где к действительное число.
При к1 такие ряды расходятся, а при k>1 сходятся.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
...
)1ln(
1
...
3ln
1
2ln
1
n
.
Решение. Рассмотрим расходящийся ряд
...
1
1
...
3
1
2
1
n
.
Он расходится, так как получен из гармонического ряда отбрасы-
ванием u
1
=1. Так как ln(n+1)<n+1 при любом n=1,2,…, то
,
1
1
)1ln(
1
nn
поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.
Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположи-
тельных числовых ряда
1n
n
u
и
1n
n
v
. Если существует конечный
предел
0lim A
v
u
n
n
n
, то ряды сходятся или расходятся одновре-
менно.
Замечание. Предельный признак сравнения рекомендуется приме-
нять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отноше-
ние степенных функций. Для сравнения выбирается обобщѐнный гар-
монический ряд, общий член которого равен отношению старших сте-
пеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.