Rambler's Top100





10
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ря-
да
1n
n
n
x
и применим к нему признак Даламбера:
n
n
n
n
n
n
xn
nx
u
u
1
limlim
1
1
= |x|
.
1
lim
n
n
n
|x|
.
n
n
1
1
1
lim
|x|.
Ряд сходится, если |x|<1 или x (-1;1) это и есть интервал схо-
димости. Исследуем концы этого интервала. При x=1 получаем расхо-
дящийся обобщѐнный гармонический ряд
1
1
n
n
. При x=-1 получаем
знакочередующийся числовой ряд
,
)1(
1n
n
n
сходящийся по признаку
Лейбница.
Действительно,
n
n
ulim
=
0
1
lim
n
n
и |u
n
|=
n
1
|u
n+1
|=
.
1
1
n
Та-
ким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток
[-1;1); R=1.
Пример 9. Найти область сходимости степенного ряда
.)5(!
1n
n
xn
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ря-
да
1
5!
n
n
xn
и применим к нему признак Даламбера:
n
n
n
n
n
n
axn
axn
u
u
!
)!1(
limlim
1
1
axn
n
)1(lim
.,0
,,
ax
ax
Таким образом, областью сходимости данного ряда является одна
точка x=a; R=0.
Пример 10. Найти область сходимости степенного ряд
.
!
1n
n
n
x