Rambler's Top100 Сайт цифровых учебно-методических материалов ВГУЭС // abc.vvsu.ru, методическое обеспечение учебного процесса
 
 Курс лекций по высшей математике. Часть 2. Авторы: Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В., редактор: в авторской редакции

 Все учебники» | содержание |  Поиск » | помощь»
Учебные материалы ВГУЭС
§6. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где  непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с  равенством . Если

1)

2)  и  непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения  не выходят за пределы отрезка  то

(5)

Доказательство. Пусть –первообразная для функции, то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(I)

покажем, что функция  является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(II)

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

при x=0  при x=ln2

=

 

§7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Пример.

 

§8. Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1.Вычисление площади в декартовых координатах.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

 

(6)

Площадь фигуры, ограниченной кривой  ( непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.7) равна

(7)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми  и   и прямыми x=a и x=b  (рис.8) равна

 

(8)

 

Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и  ( и  неотрицательны и непрерывны), пересекающимися в точке с абсциссой x=b, прямыми x=a, x=c и осью Ox (Рис.9), равна

 

(9)

 

В случае параметрического задания кривой  площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

(10)

где  и  определяются из уравнений на отрезке

Пример1. Найти площадь, ограниченную линиями и .

Решение. Одна из линий–парабола, другая–прямая (рис.10). Найдем их точки пересечения.

Тогда по формуле (8)

 

 

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды ,  и отрезком оси Ox (рис. 11).

Решение. Точкам O и A соответствуют значения параметра и , поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Вычисление площади в полярных координатах.

 
Площадь сектора OAB (рис. 12), ограниченного лучами  и  и кривой , равна                   .

Пример. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля  (рис.13).

Решение

.

 

 

3.Вычисление длины дуги.

Если кривая задана параметрическими уравнениями ,

 

, то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги .

Если кривая задана уравнением , то , где a, b–абсциссы начала и конца дуги .

Если кривая задана уравнением , то , где c, d–ординаты начала и конца дуги .

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то , где –значения полярного угла, соответствующие концам дуги .

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой  от точки  до .

Решение. , тогда  .

Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды ,  (рис.11).

Решение. , ,   тогда .

4.Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс  и прямыми  (рис.6), вычисляется по формуле .

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат  и прямыми , вычисляется по формуле .

Пример. Фигура, ограниченная линиями  и , вращается вокруг оси Ox. Найти объем тела вращения (рис. 14).

Решение. Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями  и . Тогда

.

URL: http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m2/page0014.asp
Все учебники : поиск : разработчики : лицензия : информация : abc@vvsu.ru
Все права защищены и принадлежат ВГУЭС. Любая перепечатка и/или распространение запрещено!
© 1999-2014 Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, www.vvsu.ru