Rambler's Top100 Сайт цифровых учебно-методических материалов ВГУЭС // abc.vvsu.ru, методическое обеспечение учебного процесса
 
 Введение в анализ (учебно-методическая разработка). Авторы: Никулина Л.С., Ткалич А.М., редактор: Александрова Л.И.

 Все учебники» | содержание |  Поиск » | помощь»
Учебные материалы ВГУЭС
5. Исследование функции на непрерывность и схематическое построение графика

При исследовании функции на непрерывность следует:

1) найти область определения функции;

2) установить точки, в которых функция терпит разрыв;

3) вычислить односторонние пределы в точках разрыва;

4) указать характер разрыва функции в точке;

5) вычислить предел функции при

6) найти точки пересечения графика с осями координат;

7) построить график функции.

 Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке если:

1) она в этой точке определена, то есть  

2) существует конечный

3)

Из последнего условия вытекает, что

,

то есть под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу при

Условие (3) можно записать иначе:

При невыполнении какого-либо из этих условий функция y=f(x) претерпевает в точке  разрыв.

По характеру разрывы функции в точке  можно классифицировать следующим образом:

a) если не существует , но существуют конечные , то точка  называется точкой разрыва 1-го рода;

б) если  существует, но  в точке  не определена или не выполнено условие , то точка  называется точкой устранимого разрыва;

в) если не существует или равен бесконечности хотя бы один из пределов  или , то точка  называется точкой разрыва 2-го рода.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию  и построить схематически ее график.

Решение. Функция определена всюду, кроме точек  и . Исследуем характер разрыва функции в этих точках. Вычислим пределы функции при  и  слева и справа.

; ;

; .

В точках  и  функция претерпевает разрыв второго рода с бесконечным скачком.

Функция  нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. . При   остается положительным, при  – отрицательным.

Точка пересечения графика функции  с осями координат О (0,0).

Других точек пересечения графика с осями координат нет.

 

URL: http://abc.vvsu.ru/Books/p_vv_v_an/page0005.asp
Все учебники : поиск : разработчики : лицензия : информация : abc@vvsu.ru
Все права защищены и принадлежат ВГУЭС. Любая перепечатка и/или распространение запрещено!
© 1999-2014 Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, www.vvsu.ru