Rambler's Top100 Сайт цифровых учебно-методических материалов ВГУЭС // abc.vvsu.ru, методическое обеспечение учебного процесса
 
 Курс лекций по высшей математике. Часть 1.. Авторы: Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В., редактор: В авторской редакции

 Все учебники» | содержание |  Поиск » | помощь»
Учебные материалы ВГУЭС
§ 9. Смешанное произведение векторов

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: , ,. Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами

.

Скалярное произведение вектора  на вектор :

Таким образом,

.                                                (2.11)

Нетрудно показать, что .  

Отложим данные некомпланарные векторы , ,  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

 

Рис. 18

По определению скалярного произведения  , где – угол между векторами  и . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , а , где  – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах , ,  (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторы, , образуют правую тройку, то  и`, а если левую, то  и .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , ,  компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию. Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

Пример 10. Доказать, что точки , ,  и  лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что векторы ,  и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. , , ;

.

Пример 11. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах ,,. Правой или левой является тройка векторов ,,?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов:

.

, значит, векторы образуют левую тройку; .

URL: http://abc.vvsu.ru/Books/l_matemk1/page0019.asp
Все учебники : поиск : разработчики : лицензия : информация : abc@vvsu.ru
Все права защищены и принадлежат ВГУЭС. Любая перепечатка и/или распространение запрещено!
© 1999-2014 Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, www.vvsu.ru